既にリモートリポジトリに同名のブランチがある為、プッシュにエラーが出ていると考えられます。

リモートリポジトリのブランチを別の媒体で扱う場合は、リモートブランチ取得する必要があります。

リモートブランチの取得は、以下のサイトの方法を試してみて下さい。
https://noumenon-th.net/programming/2018/12/24/git-fetch/

フェッチを実行してみました！
ただ、コミットするのが怖かったため、（もともと作業していたMacのほうのデータが消えそうで）
新たにuser/shimada/subというブランチをつくって、それから
ローカルリポジトリで作業し、そのブランチにコミットしたのですが、プッシュができません。
（masterしか選択肢がなく、user/shimada/subが選択できない）（cantPush2.PNG）
user/shimada/subをプッシュするにはどのようにすればよろしいでしょうか？
また、何が問題だったのでしょうか？

初めて見た現象だったのですが、検証したところフェッチで参照したリモートブランチからチェックアウトを行う際に
名前を変更してしまうと「masterしか選択肢がない」状態起きる様です。

理由に関しては少しわかりかねますが、恐らく名前の変更で「元のリモートブランチを書き換えてしまうイレギュラー」扱いされているのかなと思います。

チェックアウトを元のリモートブランチから名前の変更を行わずに試してみて下さい。

自分が先ほど検証した時点では、「masterしか選択肢がない」という状態は発生せず正常にプッシュ可能でした。

リモートブランチを取得してから、プッシュするまでの手順は以下の通りになります。

①プロジェクトをクローンします
②リモートの中から以前作業していたブランチをダブルクリックします
③出てきたウィンドウでOKを押して、チェックアウトを行います。
④上のフェッチボタンから、フェッチを行います。
⑤続いてクローンボタンを押して、クローンを行います。
⑥クローンしたリポジトリ内に、プッシュしたい任意のデータを入れてください
⑦入れたデータをコミットします
⑧リモートブランチを指定してプッシュを行います

プッシュできました！
今まで、新規ブランチを作成してチェックアウトした状態で
すぐにコミットしてしまっておりました！